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Exponentialfunktionen

Kurzinformation:
Wörter: 700
Seiten:
Typ: Referat
Sprache: Deutsch
Autor: (JPL0709@aol.com)
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Exponentialfunktionen

Definition: Zuordnungen der Form

x q x (q |R+ \{1})

heißen Exponentialfunktionen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen: 1. für jede Exponentialfunktion gilt:

a: der Graph der Funktion
  • steigt für q > 1, die Funktion ist streng monoton steigend
  • sie fällt für 0 < q < 1, die Funktion ist streng monoton fallend
b: der Graph liegt oberhalb der x-

Achse, daraus folgt: die Menge

aller Funktionswerte ist R+
c: der Graph approximiert
- den negativen Teil der x-
Achse für q > 1
  • den positiven Teil der x-Achse
für 0 < q < 1


Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen: - Kapitalanlagen

  • Pflanzenwuchs
  • Gleichmäßiges Wachstum
  • Zerfall von Stoffen

Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die
Hochzahl variabel.

Beispiel:

Die Funktion x 2x ; x |R heißt Exponentialfunktion zur Basis 2.
Für diese Funktion gilt:

  • Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend.
  • Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle Zahl als Funktionswert an.
Für x < 0 ist 0 < 2x < 1,
für x = 0 ist 2x = 1,
für x > 0 ist 2x > 1.
  • Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist
Asymptote des Graphen.
  • Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert 2x mit 2s multipliziert.



y










-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

Stelle Funktionswert

x 2x
+ s * 2s
x+s 2x + s = 2x * 2s



bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht. Siehe oben !!!




Lineares Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag.
Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = mx + b

Exponentielles Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen Faktor b (Wachstumsfaktor).
Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = a * bx



Logarithmusfunktionen:


Gegeben seien zwei positive Zahlen y und q (wobei q = 1). Wir suchen diejenige

(Hoch-)Zahl x, mit der man q potenzieren muß, um y zu erhalten: y = bx.


Diese Zahl x heißt der Logarithmus von y zur Basis q; Bezeichnung: x = logb y.


Logarithmengesetze:

(L1): logb (u * v) = logb u + logb v (für u , v |R+)
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

(L2): logb (ut) = t * logb u (für u , t |R+)

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus der Hochzahl und dem

Logarithmus der Basiszahl.
(L1*): logb (u/v) = log b u – logb v (für u , v |R+)
Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz des Logarithmus
des Zählers und des Logarithmus des Nenners.


Eigenschaften von Logarithmusfunktionen:

Für jede Logarithmusfunktion x wird zugeordnet logb x; x|R+ mit b > 1 gilt:

  • Der Graph steig; die Funktion ist streng monoton steigend
  • Die menge aller Funktionswerte ist |R. Es gilt

logb x < 0 für 0 < x < 1
logb x = 0 für x = 1
logb x > 0 für x > 1


  • Der Graph approximiert den negativen Teil der Y-Achse.
  • Die Graphen aller Logarithmusfunktionen haben den Punkt P (1;0) und nur diesen
Gemeinsam.


Graph der o.g. Logarithmusfunktion:













Die Lorarithmusfunktion ist eine Umkehrung der Exponentialfunktion. Gegeben seien zwei positive Zahlen y und b (b ungleich 1). Es wird die (Hoch-) Zahlx gesucht, mit der man b potenzieren muß um y zu erhalten.



Übungsaufgabe:

Eine Größe y wachse exponentiell. In der Zeiteinheit x = 1 wachse sie an mit dem Faktor
  1. Zum Zeitpunkt x = 0 habe sie den Wert a.

  1. Fülle die Tabelle aus.
  2. Zeige: Zum Zeitpunkt x hat die Größe y den Wert y = a * bx


Zeit Größe y

0 a

1 [ ]

2 [ ]

3 [ ]

.

.

.
x [ ]


















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