Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen (Referat oder Hausaufgabe)

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Wörter:	739
Seiten:
Typ:	Referat
Sprache:	Deutsch
Autor:	Unbekannt

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Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen

Das Newtonsche Iterationsverahren

1. Dieses Verfahren der Nullstellenanäherung macht von der Tatsache Gebrauch, dass der Funktionsgraph einer differenzierbaren Funktion in einer Umgebung U(x₁) durch die Tangente im Punkte P₁(x₁|f(x₁)) approximiert wird.

Gelingt es einen Wert x₁ zu finden, dessen Funktionswert schon "nahe" bei 0 liegt, so bestimmt man den Schnittpunkt der Tangente im Punkte P₁ der x-Achse. Man kann erwarten, dass die so ermittelte Stelle x₂ einen besseren Näherungswert für die gesuchte Nullstelle z darstellt als der Startwert x₁.

Für die Tangentenfunktion t zur Stelle x₁ gilt:

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^{für die Nullstelle
x}₁^{dieser Funktion gilt also:}

^{_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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Falls f´(x₁)‡0 ist, ergibt sich daraus:

^{_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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also
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Durch die Berechnung von (x₂) kann man feststellen, ob x₂ tatsächlich näher bei der gesuch-ten Nullstelle z liegt. Ist dies der Fall, so kann man das Verfahren zur Berechnung weiterer Näherungswerte wiederholen:

^{_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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usw.}

^{Auf diese Weise erhält man
eine Folge von Näherungswerten
x}₁^,
x₂^,
...,
x_n^,
x_n+1^{,
... . Der Wert
x}_n+1^{ergibt sich aus dem vorhergehenden Wert
x}_n^{nach der Rekursionsgleichung}

^{_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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^{Wenn der Ausgangswert
x}₀^{ausreichend nahe bei der tatsächlichen Nullstelle z liegt, kann man
erwarten, dass die Folge
x}_n^{dieser Zahl z schließlich beliebig nahe kommt. Die Folge
x}₁^,
x₂^,
...,
x_n^{strebt einem Grenzwert zu. So ist z also der Grenzwert der Folge
x}_n^{,
so das gilt:
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Isaac Newton - zur Person

- englischer Physiker, Mathematiker und Astronom

- 1643 in Woolsthorpe bei Grantham (winziges Dorf) geboren

- 1727 in Kensington verstorben

- Sohn eines Landpächters

- 1699 bis 1701 Professor in Cambridge

- seit 1671 Mitglied und seit 1703 Professor der Royal Society

- 1699 Direktor der Münze

- N. entwickelte die binomische Reihe, die Theorie der

Differential- und Integralrechnung

- lieferte Beiträge zur Algebra und erfand die

Infinitesimalrechnung

- in der Optik arbeitete N. über die Dispersion des Lichtes,

er war derjenige der bei Experimenten an Glasprismen

erkannte, dass sich weißes Licht aus versch. Spektralfarben

zusammensetzt

- im Gegensatz zu Huygens(Wellentheorie) war es nähmlich auch,

der Licht als eine Bewegung schnell fliegender Teilchen

deutete

- er entdeckte die Newtonschen Ringe und konstruierte 1668 ein

Spiegeltleskop

- N. leitete aus Keplerschen Gesetzten das allg. Gravitations-

gesetz ab => stellte Grundlage für Himmelsmechanik dar

- mit der von ihm aufgestellten Axiomatik der Mechanik wurde

N. zum Begründer der klassischen Physik => die von ihm

formulierten Gesetzmäßigkeiten galten uneinge-

schränkt bis zur Entwicklung der Relativitätstheorie

^{Übungen und
Aufgaben}

^{1. Ermitteln Sie mit
Hilfe des Newtonverfahrens Näherungswerte für die Nullstellen von
f.}

^{a)
_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
Original document contains a graphic at this position!} d)
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^{b)
_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
Original document contains a graphic at this position!} e)
_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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^{c)
_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
Original document contains a graphic at this position!} f)
_{Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik!
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Allgemein zum Iterationsverfahren

Das N.N. ist ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung einer Funktion f(x), wenn für jede Stelle (x₀,y₀) die Ableitung y₀´ gegeben ist. Bei jedem Schritt wird die Funktion ersetzt durch die Gerade durch den Punkt (x₀,y₀) mit der Steigung y₀´ falls y₀´‡ 0. Die Nullstelle x₂= x₁- y₁/y₁´ ist eine Näherung an die Nullstelle von f(x). Dieser Schritt wird iterativ wiederholt. Bei Annäherung von x_i an die gesuchte Nullstelle x^{* hat das N.N. quadratische Konvergenz, d.h. |}x^{* -}x_i+1^{| < K(}x^{* -}x_i^{)². Das N.N. läßt sich auf mehrere Dimensionen verallgemeinern. Sucht man zum Beispiel die Lösungen der Gleichungen f}₁^{(x,y) = 0 und f}₂^{(x,y) = 0, so bringt man an jeder Stützstelle die Tangentialebenen an diese Funktionen miteinander und mit der Ebene z = 0 zum Schnitt und erhält daraus einen Schätzwert für die gesuchte Nullstelle (}x^*,y^*).

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Beispiel 2

Nicht in jedem Fall führt die Anwendung des Iterationsver-fahrens zum Ziel.

Die Durchführung des Verfahrens ist einerseits abhängig vom, Funktionsverlauf und ob der Startwert x₁ausreichend nahe genug bei der Nullstelle z liegt.

Eine Bedingung dafür, dass das Verfahren zum Ziel führt, ist das die Folge x₁, x₂, ..., x_n einem Grenzwert zustrebt.

Bei der Durchführung des Verfahrens ist festzustellen, ob sich die Werte x₁, x₂, ..., x_nimmer weniger unterscheiden, oder ob die Werte der Folge f(x₁) f(x₂), ..., f(x_n)der Zahl 0 immer näher kommen oder nicht.

Das Newtonsche Iterationsverfahren

Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen

Für die Tangentenfunktion t zur Stelle x₁ gilt:

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^{für die Nullstelle
x}₁^{dieser Funktion gilt also:}

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Falls f´(x₁)‡0 ist, ergibt sich daraus:

Weitere Berechnung der Näherungswerte:

^{Allgemeingültige Formel
(Rekursionsgleichung):}

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Def.: Ist eine Funktion über einem Intervall [a,b] zweimal stetig differenzierbar, ist der Graph von f über [a;b] durchweg linksgekrümmt oder durchweg rechtsgekrümmt, gilt ferner f(a)* f(b)<0, so konvergiert nach dem Newtonverfahren für jeden Startwert x₁_E[a;b] die Folge x_nmit eben dieser Gleichung.

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