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Synthetische Division

Kurzinformation: Wörter: 286 Seiten: Typ: Referat Sprache: Deutsch Autor: Unbekannt	Download: PDF-Format (?) ZIP Archiv (?)

Synthetische Division

Herleitung

Beispiel: f(x) = 4x³ - 3x² + x – 4 ; x=2

f(2) = 4(2³) - 3(2²) + (2) - 4

f(2) = 32 - 12 = 2 - 4

f(2) = 18

nur Multiplikation und Addition sollen verwendet werden:

4x³ - 3x² + x - 4

x(4x² - 3x + 1) - 4

x(x(4x - 3) + 1) - 4

Von der innersten zur äußersten Klammer x=2 einsetzen:

x(x(4(2) - 3) + 1) - 4

x(x(5) + 1) - 4

x(2(5) + 1) - 4

x(11) - 4

2(11) – 4

18

Kurzform:

2| 4 -3 1 -4

8 10 22

4 5 11 18

Die Zahl 18 ist 1.) der Wert von f(x) für x=2, also f(2)

2.) der bei einer Polynomdivision von f(x) mit(x-2) entstehende Rest.

©Hannes Schuler

Synthetische Division

Anwendung

Fragestellung: Welchen Wert hat f(x) für x = x
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?

Beispiel:
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für x = 2

2| 4 5 -2 -1 6

8 26 48 94

4 13 24 47 100

Ergebnis: f(2) = 100

Fragestellung: Ist x
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die Lösung für f(x) = 0 ?

Beispiel:
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; x = 1 Lösung ?

1| 1 -6 11 -6

1 -5 6

1 -5 6 0

Neue Gleichung (quadratisch):

x² -5x +6 = 0

Lösung mit Mitternachtsformel:
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Ist das Ergebnis 0, so ist x
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die Lösung für f(x) = 0. Bei jedem anderen Ergebnis wäre die Zahl keine Lösung. Ist x
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eine Lösung, so ergibt sich eine neue Gleichung, deren höchste Potenz um eins niedriger ist als bei der Ursprungsgleichung.

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Wenn eine Potenz ausgelassen wird, so muss dies in dieser Notation durch eine 0 gekennzeichnet werden! Beispiel: x³ - x + 1 = 0 ist dann

x
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| 1 0 -1 1

©Hannes Schuler