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| Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonome
Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonome
| Kurzinformation: |
| Wörter: |
1400 |
| Seiten: |
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| Typ: |
Referat |
| Sprache: |
Deutsch |
| Autor: |
(che97bol@studserv.uni-leipzig.) |
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Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie)
sin2x + cos2x = 1 Trigonometrischer
Pythagoras
sin2x2 + cos2x2 = 1
Darstellung des Sinus mit Hilfe von anderen Winkeln
sin x = ± √(1 -
cos2x)
tan x
sin x = ±
√(1 + tan2x)
1
sin x = ±
√(1 + cot²x)
tan x * cot x = 1
Darstellung des Kosinus mit Hilfe von anderen Winkeln
cos x = ±
√(1 - sin²x)
1
cos x = ±
√(1 + tan²x)
cot
x
cos x = ±
√(1 + cot²x)
Darstellung des Tangens mit Hilfe von anderen Winkeln
sin x
tan x = ±
√(1 - sin²x)
√(1 - cos²x)
tan x = ±
cos x
1
tan x = ±
cot x
Darstellung des Kotangens mit Hilfe von anderen Winkeln
√(1 -
sin²x)
cot x = ±
sin x
cos x
cot x = ±
√(1 - cos²x)
1
cot x = ±
tan x
Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck
x:= alpha y:=beta
a
sin x = "Gegenkathete / Hypotenuse”
c
b
sin y = = cos x
c
b
cos x = "Ankathete / Hypotenuse"
c
a
cos y = = sin x
c
a
tan x = "Gegenkathete / Ankathete"
b
b
tan y = = cot x
a
b
cot x = "Ankathete / Gegenkathete"
a
a
cot y = = tan x
b
Komplementwinkelbeziehung
sin (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sin x
tan (90° - x) = cot x
cot (90° - x) = tan x
Additionstheoreme
sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y
cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y
tan x + tan y
tan (x + y) =
1 - tan x * tan y
cot x * cot y - 1
cot (x + y) =
cot x + cot y
sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x
cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
tan x - tan y
tan (x - y) =
1 + tan x * tan y
cot x * cot y + 1
cot (x - y) =
cot y - cot x
Funktionen des doppelten Winkels
2 tan x 1 + cot2 x
sin 2x = sin (x + x) = 2 sin x * cos x = =
1+tan2 x 2cot x
cos 2x = cos (x + x) = 1 - 2 sin²x = 2 cos2x -1 =
cos2 x - sin2 x
2 tan x
tan 2x =
1 - tan²x
cot²x - 1
cot 2x =
2 cot x
Extra: sin 3x = sin (x + 2x)
= sin x * cos 2x + cos x * sin 2x
= sin x(1 - 2 sin²x) + cos x * 2 sin x * cos
x
= sin x - 2 sin3x + 2 sin x cos²x
= sin x - 2 sin3x + 2 sin x (1 -
sin²x)
= 3 sin x - 4 sin3x
Funktionen des halben Winkels
x x x x
sin x = sin + = 2sin * cos
2 2 2 2
x
x x x x x
cos x = cos + = 2cos2 - 1 = cos2
- sin2 = cos2
2
2 2 2 2 2
x
- 1 - cos2
2
x √ 1 + cos x
cos = ±
2 2
x √ 1 - cos x
sin = ±
2 2
x √ 1 - cos x 1 -
cos x
tan = ± =
2 1 + cos x sin x
x √ 1 + cos x
Man beachte bei der folgenden Tabelle
cot = ± die
Struktur der Radikanten, deswegen wurde
2 1 - cos x nicht gekürzt
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1/6 π
|
1/4
π
|
1/3 π
|
1/2 π
|
π
|
3/2 π
|
2 π
|
|
|
x
|
0°
|
30°
|
45°
|
60°
|
90°
|
180°
|
270°
|
360°
|
|
|
sin x
|
1/2 √0
|
1/2 √1
|
1/2 √2
|
1/2 √3
|
1/2 √4
|
0
|
-1
|
0
|
|
|
cos x
|
1/2 √4
|
1/2 √3
|
1/2 √2
|
1/2 √1
|
1/2 √0
|
-1
|
0
|
1
|
|
|
tan x
|
√0/3
|
√3/3
|
√9/3
|
√27/3
|
n.d.
|
0
|
-
|
0
|
|
|
cot x
|
n.d.
|
3/√3
|
3/√9
|
3/√27
|
0
|
n.d.
|
0
|
n.d.
|
|
Umwandlung von Summen von Winkelfunktionen in Produkte
(I) sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y ¦ (I) + (II) =
(III)
(III) sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin x * cos y
a = x + y (1`)
b = x - y (2`)
a + b = 2x
a + b
a =
2
a + b b - a
y = a - =
2 2
2a a + b 2a - a - b
- =
2 2 2
a + b b - a
sin a + sin b = 2 sin * cos
2 2
(I) sin (x + y) = sin x * cos y + sin y * cos x ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x ¦
(I)-(II)
a + b a - b
sin x - sin y = 2 cos * sin
2 2
sin (x + y)
tan x + tan y =
cos x * cos y
sin (x - y)
tan x - tan y =
cos x * cos y
sin (y + x)
cot x + cot y =
sin x * sin y
sin (y - x)
cot x - cot y =
sin x * sin y
x + y x - y
cos x + cos y = 2cos *cos
2 2
x + y x - y
cos x - cos y = - 2sin *sin
2 2
Quadrantenbeziehungen
I II III
IV
x 180° - x 180° + x 360°
- x
sin sin x sin x - sin x - sin x
cos cos x - cos x - cos x cos x
tan tan x - tan x tan x - tan x
cot cot x - cot x cot x - cot x
Sinussatz der ebenen Trigonometrie
Satz: In jedem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Sinus zweier
Winkel gleich dem dem Verhältnis der gegenüberliegenden
Seiten.
x:= alpha y:= beta z:= gama R:= Radius des
Umkreises
a b c
= = = 2 R
sin x sin y sin z
Der Kosinussatz
In jedem ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der
Quadrate der anderen beiden Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen
Seiten und dem Kosinus des (von diesen Seiten) eingeschlossenen
Winkels.
c² = a² + b² -2ab * cos z
a² = b² + c² -2bc * cos x
b² = a² + c² -2bc * cos y
Kosinusformeln
a = b cos z + c cos y
b = a cos z + b cos x Projektionssatz
c = a cos y + b cos x
Tangensformeln
a sin y
tan x =
c - a cos y
a sin z
tan x =
b - a cos z
b sin z
tan y =
a - b cos z
b sin x
tan y =
c - b cos x
c sin y
tan z =
a - c cos y
c sin x
tan z =
b - c cos x
Mollweidsche Formeln (Karl Mollweide 1744 - 1825, Mathemat. u
Astronom)
x y - z
(b + c) * sin = a cos
2 2
y z - x
(a + c) * sin = b cos
2 2
z x - y
(a + b) * sin = c cos
2 2
x y - z
(b - c) * cos = a sin
2 2
y z - x
(c - a) * cos = b sin
2 2
z x - y
(a - b) * cos = c sin
2 2
Nepersche Gleichungen (J.Neper engl. Mathemat. 1550-1617)
x + y
a + b tan
2
=
x - y
a - b tan
2
y + z
b + c tan
2
=
y - x
b - c tan
2
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