Maturamappe Mathematik

F1, F2 .................... Brennpunkte

MF1 = MF2 = e ..... Brennweite = lineare Exzentrizität

A, B ....................... Hauptscheitel

AB = 2a ................. Hauptachse

C, D ....................... Nebenscheitel

CD = 2b ................. Nebenachse

a² = b² + e²

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

ell={X | XF1 + XF2 = 2a}

1) a=b → Kreis (e=0, F1=F2=M)

2) b=e → gleichseitige Ellipse

XF1 + XF2 = 2a

X (x/y) F1 (-e/0) F2 (e/0)

X^→F1 = (^-e-x _-y)

|(^-e-x _-y)| + |(^e-x _-y)| = 2a

√[(-e-x)²+(-y)²] + √[(e-x)²+(-y)²] = 2a

√[e²+2ex+x²+y²] = 2a - √[e²-2ex+x²+y²] /²

e²+2ex+x²+y² = 4a² - 4a√[e²-2ex+x²+y²] + e²-2ex+x²+y²

4ex-4a² = -4a√[e²-2ex+x²+y²] /:4

-a²+ex = -a√[e²-2ex+x²+y²] /²

a⁴-2a²ex+e²x² = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²

e²x²-a²x²-a²y² = -a⁴+a²e²

e² = a²-b²

a²x²-b²x²-a²x²-a²y² = -a⁴+a⁴-a²b² /*(-1)

b²x²+a²y² = a²b²

g: y=kx+d

ell: b²x²+a²y²=a²b²

b²x²+a²(kx+d)²=a²b²

b²x²+a²k²x²+2a²dkx+a²d²=a²b²

(b²+a²k²)x²+(2a²dk)x+(a²d²-a²b²)=0 /:(b²+a²k²)>0

x²+2^[a²dk] /_[b²+a²k²]x+^{[a²d²-a²b²]} /_[b²+a²k²] =0

x_1,2 =-^[a²dk] /_[b²+a²k²] ±√[^{[a^4d²k²]} _{/[(b²+a²k²)²]} - ^{[(a²d²-a²b²)(b²+a²k²)]} _{/[(b²+a²k²)²]} ]

x_1,2 =-^[a²dk] /_[b²+a²k²] ± ^[1] /_[b²+a²k²] √[a⁴d²k²-
a²b²d²+a²b⁴-a⁴d²k²+a⁴b²k²]

D = a²b² (-d²+b²+a²k²)

D>0 → 2 Lösungen → Sekante

D<0 → {} → Passante

D=0 → 1 Lösung → Tangente

-d²+b²+a²k²=0

Spezialfall: a=b=r

r²+r²k²=d²

r²(1+k²)=d²

T (x1/y1) ⊂ ell:

P (x1/y1) ⊆ ell:

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand haben.

k(M,r) = {X | MX = r}

| M^→X | = | X^→ | = r X^→ = (^x _y) m^→ = (^u _v)

| (^x-0 _y-0) | = r (X^→ - m^→)² = r²

| (^x _y) | = r | M^→X | = r

√[x²+y²] = r /² | (^x-u _y-v) | = r

x² + y² = r² √[(x-u)²+(y-v)²] = r /²

X^→² = r² (x-u)² + (y-v)² = r²

A, B ........................ Hauptscheitel

C, D ........................ Nebenscheitel

F1, F2 ..................... Brennpunkte

AB = 2a .................. Hauptachse

CD = 2b .................. Nebenachse

u, v ......................... Asymptoten der Hyperbel

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

hyp={X | |XF1 - XF2| = 2a}

e²x²-2a²ex+a⁴ = a²e²-2a²ex+a²x²+a²y²

b²x²-a²y²=a²b²

e²x²-a²x²-a²y²=2a²ex-a⁴+a²e²-2a²ex

(e²-a²)x²-a²y²=a²e²-a⁴

b²x²-a²y²=a²(e²-a²)

b²x²-a²y²=a²b²

g: y=kx+d

hyp: b²x²-a²y²=a²b²

b²x²-a²(kx+d)²=a²b²

b²x²-a²k²x²-2a²kxd-a²d²=a²b²

(b²-a²b²)x²+(-2a²kd)x+(-a²d²-a²b²)=0 /:(b²-a²k²)≠0

x²+ ^[-2a²dk] /_[b²a²k²]x+ ^{[-a²d²-a²b²]} /_[b²-a²k²] =0

x_1,2 =^[a²dk] /_[b²-a²k²] ±√[^{[a^4d²k²]} / _{[(b²-a²k²)²]} + ^{[(a²d²+a²b²)(b²-a²k²)]} / _{[(b²-a²k²)²]} ]

D = b²+d²-a²k²

D>0 → Sekante

D<0 → Passante

D=0 → Tangente

b²+d²-a²k²=0

Spezialfall: b²-a²k²=0

k² = b²/a²

k = ± b/a

d=0 ⇒ u,v: y = ± b/a x

d≠0 ⇒ y = ± b/a x + d (|| ass)

Jede Gerade parallel zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel in 1 Punkt (Sekante !).

T (x1/y1) ⊂ hyp:

P (x1/y1) ⊆ hyp:

LF = p ............. Parameter

a ...................... Achse

l ...................... Leitlinie der Parabel

F ...................... Brennpunkt

A ..................... Scheitel der Parabel

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand von einem festen Punkt F gleich dem Abstand von einer festen Geraden l ist.

par={X | XF = Xl}

XF = Xl

XF = |(^{p/2 -x} _-y)| = √[(p/2 -x)²+y²]

Xl = x + p/2

√[(p/2 -x)²+y²] = x+ p/2 /²

^{p^2} /₄ -px+x²+y² = x²+px+ ^{p^2} /₄

y² = 2px

g: y=kx+d

par: y²=2px

k²x²+2dkx+d²=2px

k²x²+2dkx-2px+d²=0

(k²)x²+(2dk-2p)x+d²=0 /:k²≠0

x²+ ^[2(dk-p)] /_[k²] + ^[d²] /_[k²] =0

x_1,2= ^[-dk+p] /_[k²] ± √[^{[d²k²-2dkp+p²]} /_[k^4] - ^[d²k²] /_[k^4] ]

x_1,2= ^[-dk+p] /_[k²] ± ^[1] /_[k²] √[-2dkp+p²]

D = -2dkp + p² = p (-2dk + p)

D>0 → Sekante

D<0 → Passante

D=0 → Tangente

p (-2dk + p) = 0

-2dk + p = 0

Spezialfall: k=0

⇒ || x-Achse

-2px+d²=0

⇒ 1 Lösung

Jede Gerade parallel zur x-Achse schneidet die Parabel in genau 1 Punkt.

T (x1/y1) ⊂ par:

y1y = px1 + px

P (x1/y1) ⊆ par:

x² = a G = R

a) a > 0

L={√[a]; -√[a]}

b) a = 0

L={0⁽²⁾ }

c) a < 0

L={}

⇒ C ........................ komplexe Zahlen

x² = -a ; a>0

x² = a (-1)

x_1,2= ± √[a] √[-1]

L={√[a]i ; -√[a]i}

Definition: √[-1] = i

√[-1] = i

i² = (√[-1])²

i² = -1

Vorsicht: (√[-1])²=-1 ≠ √[(-1)²]=1

ax²+bx+x=0 a,b,c ⊂ R; a≠0 ......... allg. quadratische Gleichung

x_1,2= ^{[-b±√[b²-4ac]]} /_[2a] = - ^[b] /_[2a] ± ^{[√[b²-4ac]]} /_[2a]

G = C

a) D = b²-4ac > 0

L={- ^[b] /_[2a] + ^{[√[b²-4ac]]} /_[2a] ; - ^[b] /_[2a] - ^{[√[b²-4ac]]} /_[2a]}

b) D = 0

L={- ^[b] /_[2a] ⁽²⁾ }

c) D < 0

⇒ 4ac-b² > 0

L={- ^[b] /_[2a] + ^{[√[4ac-b²]]} /_[2a] ; - ^[b] /_[2a] - ^{[√[4ac-b²]]} /_[2a]}

Z = a + b i a,b ⊂ R

a = Re (Z) b = Im (Z)

a) b=0 ⇒ Z=a+0i ..... reelle Zahl

b) a=0 ⇒ Z=0+bi ..... imaginäre Zahl

Gleichheit von komplexen Zahlen:

Z1 = a+bi

Z2 = c+di

Z1 = Z2 ⇔ (a=c) ∧ (b=d)

Z1 = a + b i Z2 = c + d i

Z1 + Z2 = a+bi+c+di = (a+c) + (b+d)i

Z1 - Z2 = (a-c) + (b-d)i

Z1 * Z2 = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd) + (bc+ad)i

Z1 : Z2 = [Z1]/[Z2] = ^[a+bi] /_[c+di] = ^[a+bi] /_[c+di] ^[c-di] /_[c-di] = ^{[ac+bci-adi-bdi²]} /_[c²+d²] =

= ^{[(ac+bd)+(bc-ad)i]} /_[c²+d²] = ^[ac+bd] /_[c²+d²] + ^[bc-ad] /_[c²+d²] i

c²+d² > 0 , sonst c=0,d=0 ⇒ Z2=0

Konjugiert komplexe Zahlen:

Z = a + b i Z^- = a - b i

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² * i = -1 * i = -i

i⁴ = i² * i² = (-1) * (-1) = 1

Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:

Z + Z^- = 2a

Z - Z^- = 2bi

Z * Z^- = a² + b²

(Z^-)^- = Z

Für komplexe Zahlen gilt auch der Satz von VIETA:

z²+pz+q=0 p,q ⊂ C

mit Lösungen z1,z2

a) z1 + z2 = -p

b) z1 * z2 = q

c) z²+pz+q = (z-z1) (z-z2)

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R ................. reelle Achse

Im ............... imaginäre Achse

z = a + bi

z1 = 4 - 2i

z1^- = 4 + 2i .......... um R-Achse spiegeln

z2 = 1 + 2i

z1 +z2 = 5

z1 - z2 = z1 + (-z2) = 3 - 4i

Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als Vektor in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.

| z | = √[a²+b²] = r ⊂ R .......... Radius

| z |² = | z² |

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a) z = a + bi

b) z = (a;b)

c) z = (r;ϕ)

Polarkoordinaten:

r=√[a²+b²]

0<ϕ<360°

r ..... Betrag von z

ϕ .... Argument von z

d) tan ϕ = b/a

cos ϕ = a/r

a = r cos ϕ

sin ϕ = b/r

b = r sin ϕ

z = a + bi = r cos ϕ + r sin ϕ i = r (cos ϕ + i sin ϕ)

Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

1) kartesische Darstellung:

a) Zahlenpaar z = (a;b)

b) Binomialform z = a + bi

2) Polarkoordinatendarstellung:

a) Zahlenpaar z = (r; ϕ)

b) trigonometrische Darstellung z = r (cos ϕ + i sin ϕ)

z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1)

z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2)

z1 * z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2) =

= r1 * r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 - sin ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 i + sin ϕ1 cos ϕ2 i) =

= r1 * r2 [ (cos ϕ1 cos ϕ2 - sin ϕ1 sin ϕ2) + i (cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1) ] =

= r1 * r2 [cos (ϕ1+ϕ2) + i sin (ϕ1+ϕ2)]

z1 * z2 = (r1; ϕ1) (r2; ϕ2) = (r1*r2; ϕ1+ϕ2)

Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert.

z1/z2 = ^{[r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1)]} /_{[r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2)]} =

= ^{[r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) (cos ϕ2 - i sin ϕ2)]} /_{[r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2) (cos ϕ2 - i sin ϕ2)]} =

= ^{[r1 (cos ϕ1 cos ϕ2 + i sin ϕ1 cos ϕ2 - i sin ϕ2 cos ϕ1 - i² sin ϕ1 sin ϕ2)]} /_{[r2 (cos² ϕ2 + sin² ϕ2)]} =

= ^{[r1 [(cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2) + i (sin ϕ1 cos ϕ2 - cos ϕ1 sin ϕ2)]]} /_{[r2 (cos² ϕ2 + sin² ϕ2)]} =

= r1/r2 [cos (ϕ1-ϕ2) + i sin (ϕ1-ϕ2)]

z1/z2 = (r1; ϕ1)/(r2; ϕ2) = (r1/r2; ϕ1-ϕ2)

Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert.

Δ0EZ1 ≈ Δ(0,Z2,Z1*Z2) ................. Strahlensatz

0E : 0Z1 = 0Z2 : 0Z1*Z2

1 : r1 = r2 : r1*r2

r1*r2 = r1*r2

z = r (cos ϕ + i sin ϕ)

zⁿ = [r (cos ϕ + i sin ϕ)]ⁿ = rⁿ (cos ϕ + i sin ϕ)ⁿ

zⁿ = rⁿ [cos ϕ+ϕ+ϕ+... + i sin ϕ+ϕ+ϕ+...] = rⁿ [cos (ϕ*n) + i sin (ϕ*n)]

Formel von DE MOIVRE

Definition: ζ ⊂ C heißt n-te Wurzel aus z ⊂ C, wenn ζⁿ = z

ζ=ⁿ√[z] n ⊂ N, n ≠ 1

Bsp.: (1+i)² = 2i

(-1-i)² = 2i

√[2i] = 1+i

= -1-i

a) mit Binomialform:

√[2i] = a+bi /²

2i = a² +2abi -b²

0 + 2i = (a²-b²) + 2abi ............. Koeffizientenvergleich

0 = a²-b²

2 = 2ab ⇒ a=1/b

0 = 1/b² - b² /*b²

1-b⁴ = 0

b⁴ = 1

b² = +/(-) 1

b² = 1

b = ± 1

b1=1 a1=1

b2=-1 a2=-1

√[2i] = 1+i

= -1-i

b) mit Polarkoordinaten:

ζ1 = √[2i] = √[(2;90°)] = (√[2];90°/2) = (√[2];45°) = 1+i

ζ2 = (√[2];[360°+90°]/2) = (√[2];450°/2) = (√[2];225°) = -1-i

ⁿ√[z] = ⁿ√[(r;ϕ)] = (ⁿ√[r];[ ϕ+0*360°]/n) ....... 1. Nebenwert

= (ⁿ√[r];[ ϕ+1*360°]/n) ....... 2. Nebenwert

= (ⁿ√[r];[ ϕ+2*360°]/n) ....... 3. Nebenwert

..........

= (ⁿ√[r];[ ϕ+(n-1)*360°]/n) ....... n. Nebenwert

Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.

EULERsche Formel

z = r * e^iϕ ..... Exponentialform

e^2πi = cos 2π + i sin 2π = 1

e^[π/2]i = cos π/2 + i sin π/2 = i

iⁱ = (e^[π/2]i)ⁱ = e^[π/2]i² = e^[-π/2] = 1/[e^[π/2] ] = 0.207879576351

2ⁱ = (e ^{ln 2})ⁱ = e ^{ln 2 i} = cos (ln 2) + i sin (ln 2) = 0.77 + 0.64i

Beweis: a = e ^{ln a} /ln

ln a = (ln a) (ln e)

ln a = ln a

R ist geordnet, da ∀ a,b ⊂ R gilt:

1) a < b

oder 2) a = b

oder 3) a > b

C ist nicht geordnet, da ∀ z1,z2 ⊂ C nur gilt:

1) z1 = z2

oder 2) z1 ≠ z2

Bsp.: z1 = i

z2 = 2i

1) i = 2i /-i

0 = i f. A.

0+0i = 0+1i

2) i < 2i /-i

0 < i

i > 0 /*i>0

i² > 0

-1 > 0 f. A. ........ indirekter Beweis

3) i > 2i /-i

0 > i

i < 0 /*i<0

i² > 0

-1 > 0 f. A.

⇒ bei komplexen Zahlen sinnlos: >, <

⇒ C ist nicht geordnet

1) (C;+) kommutative Gruppe

a) Abgeschlossenheit: ∀ z1,z2 ⊂ C: z1 + z2 = z3 ⊂ C

b) Assoziativgesetz (AG): ∀ z1,z2,z3 ⊂ C: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3)

c) neutrales Element n: ∀ z ⊂ C ∃ n ⊂ C:

z + n = n + z = z

n = 0 = 0 + 0i ⊂ C

d) inverses Element z*: ∀ z ⊂ C ∃ z* ⊂ C:

z + z* = z* + z = n = 0

z* = -z ⊂ C

a) - d) ⇒ Gruppe

e) Kommutativgesetz (KG): ∀ z1,z2 ⊂ C: z1 + z2 = z2 + z1

2) (C\{n=0};*) kommutative Gruppe:

a) Abgeschlossenheit: ∀ z1,z2 ⊂ C\{0}: z1 * z2 = z3 ⊂ C\{0}

b) Assoziativgesetz (AG): ∀ z1,z2,z3 ⊂ C\{0}: (z1*z2)*z3 = z1*(z2*z3)

c) neutrales Element n1: ∀ z ⊂ C\{0} ∃ n1 ⊂ C\{0}:

z * n1 = n1 * z = z

n1 = 1 = 1 + 0i

d) inverses Element z*: ∀ z ⊂ C\{0} ∃ z* ⊂ C\{0}:

z * z* = z* * z = n1 = 1

z * z* = 1 /:z≠0

z* = 1/z = 1/[a+bi]

a) - d) ⇒ Gruppe

e) Kommutativgesetz (KG): ∀ z1,z2 ⊂ C\{0}: z1 * z2 = z2 * z1

3) es müssen die beiden Distributivgesetze (DG) gelten:

∀ z1,z2,z3 ⊂ C:

z1*(z2+z3) = z1*z2 + z1*z3

(z1+z2)*z3 = z1*z3 + z2*z3

⇒ C ist ein Körper (nicht geordnet)

Berechne √[ -1/2 - [i√[3]] /[2] ] auf zwei Arten (mit, ohne Polarkoordinaten) und zeige, daß eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.

√[ -1/2 - [i√[3]] /[2] ] = a + bi /²

-1/2 - [i√[3]] /[2] = a² + 2abi - b²

-1/2 = a² - b²

[-√[3]] /[2] = 2ab ⇒ a = [-√[3]] /[4b]

-1/2 = 3/[16b²] - b² /*16b²

-8b² = 3 - 16b⁴

16b⁴ - 8b² - 3 = 0 b² = u

16u² - 8u - 3 = 0

u1,2 = [8 ± √[64 + 192] ]/32 = [8 ± √[256] ]/32 = [8 ± 16]/32

u1 = 24/32 = ¾

u2 = -8/32 = -1/4

b² = ¾ b1,2 = ± √[3]/2

b² = -1/4 b3,4 = ± i/2 ⊆ R

a1,2 = ± √[3] /[2√[3] ] = ± ½

L = {-1/2 + √[3]/2 i ; ½ - √[3]/2 i}

r = √[a² + b²] = √[1/4 + 3/4] = √[1] = 1

ϕ = arctan [b/a] = arctan [ [-√[3]/2] /[-1/2] ] = arctan √[3] = 240°

√[-1/2 - [i√[3]] /[2] ] = √[(1;240°)] = (√[1]; 240°/2) = (1;120°) = -1/2 + √[3]/2 i

√[(1;240°)] = (√[1]; [240°+360°] /2) = (√[1]; 600°/2) = (1;300°) = ½ - √[3]/2 i

L = {-1/2 + √[3]/2 i ; ½ - √[3]/2 i}

z³ - 1 = 0 = (z - 1) (z² + z + 1)

z1 = 1

z² + z + 1 = 0

z2,3 = -1/2 ± √[1/4 - 1] = -1/2 ± √[-3/4] = -1/2 ± √[3]/2 i

z2 = -1/2 + √[3]/2 i

z3 = -1/2 - √[3]/2 i

L = {1 ; -1/2 + √[3]/2 i ; -1/2 - √[3]/2 i}

9z² - 18 (1+i) z + 2 (16+21i) = 0 G = C

z1,2 = [18 (1+i) ± √[324 (1+2i-1) - 72 (16+21i)] ] /18 =

= [18 + 18i ± √[648i - 1152 - 1512i] ] /18 = [(18 + 18i) ± √[-1152 - 864i] ] /18 = /*

= [(18 + 18i) ± (12 - 36i)] /18

z1 = [18 + 18i + 12 - 36i] /18 = [30 - 18i] /18 = 5/3 - i

z2 = [18 + 18i - 12 + 36i] /18 = [6 + 54i] /18 = 1/3 + 3i

L = {5/3 - i ; 1/3 + 3i}

*) √[-1152 - 864i] = √[(1440;216.87°)] =

Eine Linearkombination der Form

, wobei a _i ⊂ C und a _n ≠ 0, heißt ein Polynom n-ten Grades in 1 Variablen.

n ................. Grad des Polynoms

a _i ............... Koeffizienten

a ₀ ............... konstantes Glied

Eine Zahl α heißt Nullstelle von P _n(α) = a _n x ⁿ + ... + a ₀ , wenn P _n(α) = 0.

Jedes Polynom n-ten Grades hat mindestens 1 Nullstelle in C.

⇒ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.

P3 (x) = a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 =

= x (a3 x² + a2 x + a1) + a0 =

= x [x (a3 x + a2) + a1] + a0

P4 (x) = 5 x⁴ - x³ + 3x + 4

ges.: P4 (-3) = 427

P4 (2) = 82

P3 (z) = z³ - 2z² + z - 3

P3 (2+i) = -5 + 4i

P3 (2-i) = -5 - 4i

allgemein: P (z^-) = [P (z)]^- , nur dann, wenn a _i ⊂ R

geg.: Pn (x) = 1 x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + ... + a1 x + a0 = 0

Voraussetzung: a_n = 1 .......... Polynom n-ten Grades

Annahme: x1 ..... Lösung von Pn (x)

Pn (x-1) = x1 ⁿ + a _n-1 x1 ^n-1 + a _n-2 x1 ^n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0

(x ⁿ - x1 ⁿ) + a _n-1 (x ^n-1 - x1 ^n-1) + a _n-2 (x ^n-2 - x1 ^n-2) + ... + a1 (x - x1) = 0

(x - x1) [x ^n-1 + b _n-2 x ^n-2 + ... + b1 x + b0] = 0 .................... Polynom (n-1)-ten Grades

⇒ ∃ n Lösungen: x1, x2, ..., xn

(x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) = 0

x⁴ + 2x³ - 13x² - 14x + 24 = 0

x1 = 1

x2 = -2

(x - 1) ( x + 2) = x² + x - 2

(x⁴ + 2x³ - 13x² - 14x + 24) : (x² + x - 2) = x² + x - 12

x³ - 11x² - 14x

- x³ - x² + 2x

- 12x² - 12x + 24

+ 12x² + 12x - 24

0 R.

x² + x - 12 = 0

x3,4 = -1/2 ± √[1/4 + 12] = -1/2 ± √[49/4] = -1/2 ± 7/2

x3 = 3

x4 = -4

L = {1; -2; 3; -4}

Reziproke Gleichungen sind Gleichungen, die zu jeder Lösung α auch 1/α als Lösung besitzen. Reziproke Gleichungen sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch.

a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0

symmetrisch: a3 = a0

a2 = a1

antisymmetrisch: a3 = - a0

a2 = - a1

2x³ - 3x² - 3x + 2 = 0 G = R

2x³ + 2 - 3x² - 3x = 0

2 (x³ + 1) - 3x (x + 1) = 0

2 (x + 1) (x² - x + 1) - 3x (x + 1) = 0

(x + 1) [2 (x² - x + 1) - 3x] = 0

x1 = -1 2x² - 5x + 2 = 0

x2,3 = [5 ± √[25 - 16] ] /4 = [5 ± √[9] ] /4 = [5 ± 3] /4

x2 = [5 + 3] /4 = 8/4 = 2

x3 = [5 - 3] /4 = 2/4 = ½

L = {-1; 1/2; 2}

2x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 G = R

2x³ - 2 - 3x² + 3x = 0

2 (x³ - 1) - 3x (x - 1) = 0

2 (x - 1) (x² + x + 1) - 3x (x - 1) = 0

(x - 1) [2 (x² + x + 1) - 3x] = 0

x1 = 1 2x² - x + 2 = 0

x2,3 = [1 ± √[1 - 16] ] /4 = [1 ± √[-15] ] /4 = [1 ± 3.87i] /4

x2 = [1 + 3.87i] /4 = ¼ + 0.97i ⊆ R

x3 = [1 - 3.87i] /4 = ¼ - 0.97i ⊆ R

L = {1}

Jede reziproke Gleichung 3. Grades hat entweder 1 oder -1 als Lösung.

b) 2x⁴ + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 /:x² ≠ 0 G = C

2x² + 5x + 4 + 5/x + 2/x² = 0

(2x² + 2/x²) + (5x + 5/x) + 4 = 0

2 (x² + 1/x²) + 5 (x + 1/x) + 4 = 0

x + 1/x = u /² ... Substitution

x² + 2 + 1/x² = u²

x² + 1/x² = u² - 2

2 (u² - 2) + 5u + 4 = 0

2u² + 5u = 0

u (2u + 5) = 0

u1 = 0 u2 = -5/2

x + 1/x = 0 /*x

x² + 1 = 0

x² = -1 /√

x = ± i

x1 = i

x2 = -i

x + 1/x = -5/2 /*x

x² + 5/2 x + 1 = 0

x3,4 = -5/4 ± √[25/16 - 1] = -5/4 ± √[9/16] = -5/4 ± ¾

x3 = -5/4 + ¾ = -2/4 = -1/2

x4 = -5/4 - ¾ = -8/4 = -2

L = {i; -i; -1/2; -2}

c) a4 x⁴ + a2 x² + a0 = 0 G = C

x² = u

a4 u² + a2 u + a0 = 0

usw.

d) a0 = 0 ⇒ x herausheben, usw.

e) x⁴ - 6x³ + 14x² - 16x + 8 = 0 G = C

T8 = {±1; ±2; ±4; ±8}

x1 = 2

x³ - 4x² + 6x - 4 = 0

T4 = {±1; ±2; ±4}

x2 = 2

x² - 2x + 2 = 0

x3,4 = 1 ± √[1 - 2] = 1 ± √[-1] = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 - i

L = {2 ⁽²⁾ ; 1+i; 1-i}

2x⁴ + x³ - 9x² + 16x - 6 = 0 G = C

T = {±1; ±2; ±3; ±6; ± 1/2; ± 3/2}

x1 = -3

2x³ - 5x² + 6x - 2 = 0

T = {±1; ±2; ± 1/2}

x2 = ½

2x² - 4x + 4 = 0 /:2

x² - 2x + 2 = 0

x3,4 = 1 ± √[1 - 2] = 1 ± √[-1] = 1 ± i

x3 = 1 + i

x4 = 1 - i

L = {-3; 1/2; 1+i; 1-i}

f) Gleichungen ab dem 5. Grad sind nicht mehr allgemein lösbar.

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Eine Funktion f: x → y ist eine Zuordnung, die jedem Element von x = Df genau ein Element von y = f(x) der Wertemenge Wf ⊂ y zuordnet.

⇒ Funktion = eindeutige Zuordnung !

A = {2; 4; 5}

B = {8; 5; 15}

f: „x ist Teiler von y“

(1)

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... Pfeildiagramm

f ist zwar eine Zuordnung, aber keine Funktion

(2) Menge von geordneten Paaren:

f: {(2/8); (4/8); (5/5); (5/15)}

(3)

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(4) Wertetabelle

Eine Funktion f heißt injektiv, wenn jedes y ⊂ Y höchstens einmal getroffen wird.

injektiv: ∀ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn jedes y ⊂ Y mindestens einmal getroffen wird.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

y = f(x) heißt streng monoton steigend (monoton steigend), wenn

∀ x1 < x2 ⊂ D ⇒ f(x1) < f(x2)

(f(x1) ≤ f(x2))

y = f(x) heißt streng monoton fallend (monoton fallend), wenn

∀ x1 < x2 ⊂ D ⇒ f(x1) > f(x2)

(f(x1) ≥ f(x2))

f*: Umkehrzuordnung x ↔ y

Eine Funktion y = f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn ∃ M ⊂ R, daß f(x) ≤ M ∀ x ⊂ Df

Eine Funktion y = f(x) heißt nach unten beschränkt, wenn ∃ m ⊂ R, daß f(x) ≥ m ∀ x ⊂ Df

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.

größte untere Schranke = Infimum = inf f(x)

kleinste obere Schranke = Supremum = sup f(x)

geg.: a ≤ b a, b ⊂ R

offenes Intervall = ]a; b[ = (a; b) = {x ⊂ R ê a < x < b}

abgeschlossenes Intervall = [a; b] = {x ⊂ R ê a ≤ x ≤ b}

ε - Umgebung von a:

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ε - Umgebung von a = U_{(a; ε)}

→ ε > 0

U_{(a; ε)} = ]a-ε; a+ε[ = {x ⊂ R ê a-ε < x < a+ε} = {x ⊂ R ê êx-aê < ε}

geg.: y = f(x)

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lim [x→a1-0] f(x) = lim [x→a1+0] f(x) = f(a1)

Grenzwert Grenzwert Funktionswert

von links von rechts

Eine Funktion y = f(x) ist an der Stelle a stetig, wenn ∀ ε > 0 (ε-Umgebungen um f(a)) ∃ δ = δ(ε) > 0 (um a), so daß ∀ x ⊂ ]a-δ; a+δ[ : êf(x) - f(a)ê < ε

Eine Funktion y = f(x) heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle von Df stetig ist.

Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.

lim [x→0-0] sgn x = -1 lim [x→0+0] sgn x = 1 sgn 0 = 0

⇒ an Stelle 0 nicht stetig

Ist f in [a; b] eine stetige Funktion und gilt f(a) ≠ f(b), so nimmt f in ]a; b[ jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.

Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens eine Nullstelle.

(3) Sind f und g in [a; b] stetig, so ist auch stetig:

a) c * f c ⊂ R

b) f + c c ⊂ R

c) f ± g

d) f * g

e) f / g , wenn g ≠ 0 in [a; b]

f) f ⁿ n ⊂ N

Isaac Newton (1643 - 1727) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716) mit Hilfe des Tangentenproblems

Aufgabe der Differentialrechnung: Bestimmung des Anstiegs der Tangente in beliebigem Kurvenpunkt

geg.: y = f(x) ... stetig

P ⊂ f

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ges.: t in P

Sekantenfolge <s1; s2; s3; ...>

lim [n→∞] s_n = t

Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.

Unter dem Anstieg einer Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.

Steigung von s1: tan β = Δx / Δy = [f(x + Δx) - f(x)] /Δx ... Differenzenquotient = Anstieg der Sekante

Q: f(x + Δx) = y + Δy

Δy = f(x + Δx) - y

Δy = f(x + Δx) - f(x)

tan α = y´(x) = f´(x) = lim [Δx→0] Δy / Δx = lim [Δx→0] [f(x + Δx) - f(x)] /Δx = dy / dx

... Differentialquotient = Anstieg der Tangente = 1. Ableitung von y = f(x)

Differenzieren bedeutet Berechnung des Differentialquotienten = Berechnung des Anstiegs einer Kurve

y = c

y´ = lim [Δx→0] Δy / Δx = lim [Δx→0] [f(x + Δx) - f(x)] /Δx = lim [Δx→0] [c - c] /Δx =

= lim [Δx→0] 0/Δx = lim [Δx→0] 0 = 0

b) Ableitung von y = xⁿ: n ⊂ N

y = xⁿ

y´ = n * x ^n-1

y = xⁿ n ⊂ N

a² - b² = (a - b) (a + b)

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

... ...

aⁿ - bⁿ = (a - b) (a ^n-1 + a ^n-2 b + a ^n-3 b² + ... + a b ^n-2 + b ^n-1 ) /:(a - b)

[aⁿ - bⁿ] /[a - b] = a ^n-1 + a ^n-2 b + ... + a b ^n-2 + b ^n-1 ... n Glieder

a = x + Δx

b = x

y´ = lim [Δx→0] [f(x + Δx) - f(x)] /Δx = lim [Δx→0] [(x + Δx) ⁿ - x ⁿ] /Δx =

= lim [Δx→0] [Δx [(x + Δx) ^n-1 + (x + Δx) ^n-2 x + ... + x ^n-1] ] /Δx =

= lim [Δx→0] [(x + Δx) ^n-1 + (x + Δx) ^n-2 x + ... + x ^n-1] = x ^n-1 + x ^n-2 x + x ^n-3 x² + ... + x ^n-1 =

= x ^n-1 + x ^n-1 + x ^n-1 + ... = ... n Glieder

= n * x ^n-1 q. e. d.

gilt auch für beliebige Exponenten

c) Ableitung von y = a * xⁿ: a ⊂ R ... konstanter Faktor

y´ = lim [Δx→0] Δy / Δx = lim [Δx→0] [f(x + Δx) - f(x)] /Δx =

= lim [Δx→0] [a (x + Δx) ⁿ - a * x ⁿ] /Δx = lim [Δx→0] [a [(x + Δx) ⁿ - x ⁿ] ] /Δx =

= a lim [Δx→0] [(x + Δx) ⁿ - x ⁿ] /Δx = a * n * x ^n-1

y = a * xⁿ

y´ = a * n * x ^n-1

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.

geg.: y = u(x) + v(x) = f(x)

Behauptung: y´ = u´(x) + v´(x)

Voraussetzung:

∃ u´(x) = lim [Δx→0] [u(x + Δx) - u(x)] /Δx

∃ v´(x) = lim [Δx→0] [v(x + Δx) - v(x)] /Δx

y´ = lim [Δx→0] [f(x + Δx) - f(x)] /Δx = lim [Δx→0] [ [u(x + Δx) + v(x + Δx)] - [u(x) + v(x)] ] /Δx =

= lim [Δx→0] [ [u(x + Δx) - u(x)] /Δx + [v(x + Δx) - v(x)] /Δx ] =

= lim [Δx→0] [u(x + Δx) - u(x)] /Δx + lim [Δx→0] [v(x + Δx) - v(x)] /Δx =

= u´(x) + v´(x) q. e. d.

u, v ... differenzierbar, d. h. zumindest stetig, ⇒ daher Grenzwert und Funktionswert vertauschbar

Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen

geg.: y = u(x) * v(x) = f(x)

Voraussetzung:

∃ u´(x) = lim [Δx→0] [u(x + Δx) - u(x)] /Δx

∃ v´(x) = lim [Δx→0] [v(x + Δx) - v(x)] /Δx

y´ = lim [Δx→0] [f(x + Δx) - f(x)] /Δx = lim [Δx→0] [u(x + Δx) * v(x + Δx) - u(x) * v(x)] /Δx =

= lim [Δx→0] [u(x + Δx) * v(x + Δx) - u(x) * v(x + Δx) + u(x) * v(x + Δx) - u(x) * v(x)] /Δx =

= lim [Δx→0] [v(x + Δx) [u(x + Δx) - u(x)] + u(x) [v(x + Δx) - v(x)] ] /Δx =

= lim [Δx→0] [v(x + Δx) [u(x + Δx) - u(x)] /Δx] + lim [Δx→0] [u(x) [v(x + Δx) - v(x)] /Δx] =

= v(x) * u´(x) + u(x) * v´(x) q. e. d.

y = u(x) / v(x) = f(x)

y´ = [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)²] = f´(x)

Annahme:

∃ u´(x) = lim [Δx→0] [u(x + Δx) - u(x)] /Δx

∃ v´(x) = lim [Δx→0] [v(x + Δx) - v(x)] /Δx

u(x) / v(x) = f(x) /*v(x)

u(x) = f(x) * v(x) /´

u´(x) = f´(x) * v(x) + f(x) * v´(x)

f´(x) * v(x) = u´(x) - f(x) * v´(x) /:v(x)

f´(x) = [u´(x) - f(x) * v´(x)] /[v(x)]

f´(x) = [u´(x) - u(x)/v(x) * v´(x)] /[v(x)] =

= [ [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v(x)] ] /[v(x)] =

= [u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x)] /[v²(x)]

1) y = 1/v(x) y´ = - [v´(x)] /[v²(x)]

2) y = 1/x y´ = - 1/x² y´´ = 2x/x⁴ = 2/x³ y´´´ = - 6/x⁴

y = f(z) ... äußere Funktion

z = g(x) ... innere Funktion

y = f(z) = f(g(x)) = h(x)

h = f ° g

geg.: y = h(x) = f(g(x)) = f(z)

Voraussetzung:

∃ f´(z) = lim [Δx→0] [f(z + Δz) - f(z)] /Δz

∃ g´(x) = lim [Δx→0] [g(x + Δx) - g(x)] /Δx

g(x) = z

g(x + Δx) = z + Δz

(Δx→0 ⇔ Δz→0)

Δz = g(x + Δx) - z = g(x + Δx) - g(x)

y´ = lim [Δx→0] [h(x + Δx) - h(x)] /Δx = lim [Δx→0] [f(g(x + Δx)) - f(g(x))] /Δx =

= lim [Δx→0; Δz→0] [f(z + Δz) - f(z)] /Δx = lim [Δx→0; Δz→0] [ [f(z + Δz) - f(z)] /Δx * Δz/Δz ] =

= lim [Δx→0; Δz→0] [ [f(z + Δz) - f(z)] /Δz * Δz/Δx ] =

= lim [Δx→0; Δz→0] [ [f(z + Δz) - f(z)] /Δz * [g(x + Δx) - g(x)] /Δx ] =

= lim [Δz→0] [f(z + Δz) - f(z)] /Δz * lim [Δx→0] [g(x + Δx) - g(x)] /Δx =

= f´(z) * g´(x) q. e. d.

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.

geg.: y = [3x² + 1] /[2x √[7 - 4x] ]

ges.: Gleichung der Tangente in P (1/y)

y´ = [6x * 2x √[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 √[7 - 4x] + 2x * ½ (7 - 4x)^(-1/2) (-4)] ] /[(2x √[7 - 4x])²] =

= [12x² √[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 √[7 - 4x] + [-4x]/[ √[7 - 4x]] ] ] /[4x² (7 - 4x)] =

= [12x² √[7 - 4x] - (3x² + 1) [2 (7 - 4x) - 4x]/[ √[7 - 4x]] ] /N =

= [12x² √[7 - 4x] - [(3x² + 1) (-12x + 14)]/[ √[7 - 4x]] ] /N =

= [ [12x² (7 - 4x) + 36x³ - 42x² + 12x - 14]/[ √[7 - 4x]] ] /N =

= [-12x³ + 42x² + 12x - 14] /[4x² (7 - 4x) √[7 - 4x]] =

= [-6x³ + 21x² + 6x - 7] /[2x² (7 - 4x) √[7 - 4x]]

y(1) = 4 /[2√[3]] = 2/√[3]

P (1 / 2/√[3])

t: y = kx + d

y´(1) = [-6 + 21 + 6 - 7] /[2 * 3 √[3]] = 14/[6√[3]] = 7/[3√[3]] = k

y = 7/[3√[3]] x + d

P: 2/√[3] = 7/[3√[3]] * 1 + d

d = 2/√[3] - 7/[3√[3]] = [6 - 7] /[3√[3]] = - 1/[3√[3]]

t: y = 7/[3√[3]] x - 1/[3√[3]]

Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so ∃ mindestens 1 Stelle ξ in ]a; b[ mit f´(ξ) = 0

Ist f in [a; b] stetig und in ]a; b[ differenzierbar, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Stelle ξ mit f´(ξ) = [f(b) - f(a)] /[b - a]

Sehne s: tan α = [f(b) - f(a)] /[b - a]

⇒ mindestens 1 zur Sehne f(a)^-f(b) || Tangente

geg.: f: R → R, x → ax³ + bx² + cx + d hat im Ursprung die Steigung 3 und im Punkt T (6/0) einen Tiefpunkt

g: R → R, x → px² + qx + r hat einen Scheitelpunkt an der Stelle 3 und schneidet f im Ursprung

rechtwinkelig

ges.: f, g, Diskussion

f: y = ax³ + bx² + cx + d

y´ = 3ax² + 2bx + c

f: y(0) = 0 = d

y(6) = 0 = 216a + 36b + 6c + d

y´(0) = 3 = c

y´(6) = 0 = 108a + 12b + c

⇒ a = 1/12 ; b = -1 ; c = 3 ; d = 0

f: y = (1/12)x³ - x² + 3x

g: y = px² + qx + r

y´ = 2px + q

g: y(0) = 0 = r

y´(3) = 0 = 6p + q

y´(0) = -1/3 = q

⇒ p = 1/18 ; q = -1/3 ; r = 0

g: y = (1/18)x² - (1/3)x

6)

7)

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geg.: y = x³/[(x-1)²]

ges.: Kurvendiskussion

y = x³/[(x-1)²]

y´ = [3x² (x-1)² - x³ 2(x-1)] /[(x-1)^4] = [(x-1) [3x² (x-1) - 2x³] /[(x-1)^4] = [3x³ - 3x² - 2x³] /[(x-1)³] =

= [x³ - 3x²] /[(x-1)³]

y´´ = [(3x² - 6x) (x-1)³ - (x³ - 3x²) 3(x-1)²] /[(x-1)^6] = [(x-1)² [(3x² - 6x) (x-1) - 3(x³ - 3x²)]] /[(x-1)^6] =

= [3x³ - 6x² - 3x² + 6x - 3x³ + 9x²] /[(x-1)^4] = [6x] /[(x-1)^4]

1) (x-1)² = 0 /√

x-1 = 0

x = 1

D = R \ {1}

2) x³/[(x-1)²] = 0 /*N

x³ = 0

x = 0

N (0/0) ⁽³⁾

3) a1: x = 1

lim [x→±∞] (x³/[(x-1)²]) = lim [x→±∞] (x + [2x² - x] /[x² - 2x + 1]) =

= lim [x→±∞] (x + [2x²/x² - x/x²] /[x²/x² - 2x/x² + 1/x²]) = lim [x→±∞] (x + [2 - 1/x] /[1 - 2/x + 1/x²]) =

= lim [x→±∞] (x + 2)

a2: y = x + 2

4) [x³ - 3x²] /[(x-1)³] = 0 /*N

x³ - 3x² = 0

⇒ x1,2 = 0

x3 = 3

y´´(0) = 0 ⇒ S (0/0) ⁽²⁾

y´´(3) = 9/8 > 0 ⇒ T (3/[27/4])

5) [6x] /[(x-1)^4] = 0 /*N

6x = 0

x = 0

W (0/0)

w: y = kx + d

y´(0) = 0

d = 0

w: y = 0

6)

7)

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Einem gleichschenkeligen Dreieck soll jenes Rechteck eingeschrieben werden, daß den größten Flächeninhalt besitzt !

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HB: A = x * y ..... Max.

ΔAMC ≈ ΔADE ..... Strahlensatz

a/2 : h = AD : DE

a/2 : h = (a/2 - x/2) : y

a/2 * y = h (a/2 - x/2)

y = [2h (a/2 - x/2)] /[a]

NB: y = [h (a - x)] /[a]

A = x * [h (a - x)] /[a]

f(x) = x * [h (a - x)] /[a] = h/a * x(a-x)

f(x) = h/a (ax - x²)

f´(x) = h/a (a - 2x)

h/a (a - 2x) = 0

a - 2x = 0

x = a/2

NB: y = [h (a - a/2)] /[a] = [[a h] /2] /[
a] = [a h] /[2a] = h/2

y = h/2

Dx = [0;a]

Dy = [0;h]

HB: A = x * y = a/2 * h/2 = [a h] /4

f´´(x) = h/a (-2)

f´´(a/2) = [-2h] /[
a] < 0 ⇒ Max.

A: Das Rechteck mit den Seiten a/2 ; h/2 hat den maximalen Flächeninhalt [a h] /4 .

Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale hat die größte Fläche ?

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HB: A = a * b ..... Max. NB: a² + b² = d²

A = a √[d² - a²] b = √[d² - a²]

g(a) = a √[d² - a²] /²

f(a) = g²(a) = a² (d² - a²) NB: b = √[d² - a²] =

f(a) = a²d² - a^4 = √[d² - d²/2] = √[d²/2] =

f´(a) = 2ad² - 4a³ = d/2 √[2]

0 = d² * 2a - 4a³ = a (d² * 2 - 4a²)

a1 = 0 2d² = 4a² A = a b = (d/2 √[2])² = d²/2

a² = d²/2

a2 = d/2 √[2]

f´´(a) = 2d² - 12a²

f´´(0) = 2d² > 0 ⇒ Min.

f´´(d/2 √[2]) = 2d² - 12 d²/2 = 2d² - 6d² = -4d² < 0 ⇒ Max.

A: Das Quadrat mit der Seitenlänge d/2 √[2] hat die maximale Fläche d²/2 .

Von einem quadratischen Blech (Seitenlänge = a) werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten, aus dem Rest wird eine Schachtel gebildet. Wie groß muß die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate sein, daß das Volumen der Schachtel maximal wird ?

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HB: V = G * h = (a - 2x)² * x = f(x)

Dx = [0;a/2]

f´(x) = 2(a - 2x) (-2)x + (a - 2x)² = -4x (a - 2x) + (a - 2x)²

0 = -4x (a - 2x) + (a - 2x)²

4x (a - 2x) = (a - 2x)² /:(a - 2x) a - 2x = 0

4x = a - 2x a = 2x

6x = a x = a/2 → Randextremum

x = a/6

V = (a - a/3)² * a/6 = (2a/3)² * a/6 = [4a²]/9 * a/6 = [4a³] /[54] = [2a³] /[27]

f´´(x) = -4(a - 2x) + (-4x) (-2) + 2(a - 2x) (-2) = -8a + 24x

f´´(a/6) = -8a + [24a]/6 = -8a + 4a = -4a < 0 ⇒ Max.

f´´(a/2) = -8a + [24a]/2 = -8a + 12a = 4a > 0 ⇒ Min.

A: Die Quadrate müssen die Seitenlänge a/6 haben, damit das Volumen maximal [2a³] /[27] wird.

Einem Drehkegelstumpf (R, r, h) werden Drehzylinder eingeschrieben, deren Grundflächen konzentrisch in der Grundfläche des Drehzylinders liegen. Wie sind die Maße des Zylinders mit maximalem Volumen ?

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HB: V = x²πy ..... Max. NB: (R-x) : y = (R-r) : h

f(x) = x²π [h(R-x)] /[R-r] = y = [h(R-x)] /[R-r]

= π [h] /[R-r] x²(R-x)

g(x) = x² (R-x) = Rx² - x³ Dx = [0;R]

g´(x) = 2Rx - 3x² Dy = [0;h]

2Rx - 3x² = 0

x (2R - 3x) = 0 y = [h (R - 2/3 R)] /[R-r] = [[h R]/3] /[R-r] =

x1 = 0 2R = 3x = [R h] /[3 (R-r)]

x2 = 2/3 R

g´´(x) = 2R - 6x V = x²πy = 4/9 R² π [R h] /[3(R-r)] =

g´´(2/3 R) = 2R - 4R = -2R < 0 ⇒ Max. = [4 R³ h π] /[27 (R-r)]

⇒ r ≤ 2/3 R → x = 2/3 R

r > 2/3 R → x = r , y = h

A: Der Zylinder mit x = 2/3 R , y = [R h] /[3 (R-r)] hat maximales Volumen [4 R³ h π] /[27 (R-r)] .

r > [2/3]*R ⇒ x = r ; y = h

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BC = arc α

arc α = ^[π*α] /_[180]

A _Kreissektor = ^[r²*π*α] /_[360] = ^[b*r] /_[2]

b = ^[π*r*α] /_[180]

r = 1 → b = arc α ^ α

A_Δ0AB < A _{Kreissektor 0CB} < A_Δ0CD

½ sin α cos α < α/2 < ½ tan α /: ½ sin α

cos α < ^[α] /_{[sin α]} < ^{[tan α]} /_{[sin α]}

cos α < ^[α] /_{[sin α]} < ^[1] /_{[cos α]}

lim _[α→0] cos α ≤ lim _[α→0] ^[α] /_{[sin α]} ≤ lim _[α→0] ^[1] /_{[cos α]}

lim _[α→0] cos α = cos 0 = 1

lim _[α→0] ^[1] /_{[cos α]} = 1/1 = 1

1 ≤ lim _[α→0] ^[α] /_{[sin α]} ≤ 1

⇒ lim _[α→0] ^[α] /_{[sin α]} = 1

⇒ lim _[α→0] ^{[sin α]} /_[α] = 1

sin α - sin β = 2 sin ^[α-β] /_[2] cos ^[α+β] /_[2]

x + Δx = α

x = β

Δx = α - β

y = sin x = f(x)

y´ = lim _[Δx→0] ^{[f(x+Δx) - f(x)]} / _[Δx] = lim _[Δx→0] ^{[sin (x+Δx) - sin x]} / _[Δx] =

= lim _[Δx→0] ^{[2 sin [x+Δx-x]/[2] cos [x+Δx+x]/[2]]} / _[Δx] =

= lim _[Δx→0] ^{[2 sin [Δx]/[2] cos [2x+Δx]/[2]]} / _[Δx] =

= lim _[Δx→0] ^{[sin [Δx]/[2]]} / _[[Δx]/[2]] cos (x + [Δx]/[2]) = cos x

y = cos x = sin (π/2 - x)

y´ = cos (π/2 - x) * (-1) = - sin x

y = tan x = ^{[sin x]} /_{[cos x]}

y´ = ^{[cos² x - sin x (-sin x)]} /_{[cos² x]} = ^{[cos² x + sin² x]} /_{[cos² x]} =

•) = ^{[cos² x]} /_{[cos² x]} + ^{[sin² x]} /_{[cos² x]} = 1 + tan² x

•) = ^[1] /_{[cos² x]}

y = cot x = ^{[cos x]} /_{[sin x]}

y´ =

•) = -1 - cot² x

•) = - ^[1] /_{[sin² x]}

y = 2 sin x + sin 2x [0;2π]

1) D = [0;2π]

2) 2 sin x + sin 2x = 0 ..... goniometrische Gleichung

2 sin x + 2 sin x cos x = 0 sin 2x = 2 sin x cos x

2 sin x (1 + cos x) = 0

2 sin x = 0 1 + cos x = 0

sin x = 0 cos x = -1

x1 = 0 x4 = π

x2 = π

x3 = 2π

N1 (0/0)

N2 (π/0) ⁽²⁾

N3 (2π/0)

3) ∃ a

4) y´ = 2 cos x + 2 cos 2x cos 2x = cos² x - sin² x

0 = 2 cos x + 2 cos 2x

0 = 2 cos x + 2 (cos² x - sin² x) /:2

0 = cos x + cos² x - (1 - cos² x)

0 = cos x + cos² x - 1 + cos² x

2 cos² x + cos x - 1 = 0 /:2

cos² x + ½ cos x - ½ = 0

(cos x)1,2 = -1/4 ± √[1/16 + 1/2] = -1/4 ± √[9/16] = -1/4 ± ¾

(cos x)1 = -1 ⇒ x1 = π

(cos x)2 = ½ ⇒ x2 = π/3

x3 = 5π/3

y´´ = -2 sin x - 4 sin 2x

y´´(π) = 0 ⇒ S (π/0)

y´´(π/3) = -5.20 < 0 ⇒ H ([π/3]/2.60)

y´´(5π/3) = 5.20 > 0 ⇒ T ([5π/3]/-2.60)

5) 0 = - 2 sin x - 4 sin 2x

0 = - 2 sin x - 4 (2 sin x cos x)

0 = - 2 sin x - 8 sin x cos x /:(-2)

0 = sin x + 4 sin x cos x

0 = sin x (1 + 4 cos x)

sin x = 0 1 + 4 cos x = 0

x1 = 0 4 cos x = -1

x2 = π cos x = -1/4

x3 = 2π x4 = 1.82

x5 = 4.46

W1 (0/0) W4 (1.82/1.45)

W2 (π/0) W5 (4.46/-1.45)

W3 (2π/0)

y´(0) = 4 d = 0 - 4*0 = 0

y´(π) = 0 d = 0 - 0*π = 0

y´(2π) = 4 d = 0 - 4*2π = -8π

y´(1.82) = -2.25 d = 1.45 - (-2.25)*1.82 = 5.56

y´(4.46) = -2.25 d = -1.45 - (-2.25)*4.46 = 8.58

w1: y = 4x

w2: y = 0

w3: y = 4x - 8π

w4: y = -9/4 x + 5.56

w5: y = -9/4 x + 8.58

6)

7)

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y = sin x + cos x [-π/4;7π/4]

1) D = [-π/4;7π/4]

2) 0 = sin x + cos x

sin x = - cos x /:cos x

tan x = -1

x1 = 3π/4

x2 = 7π/4

x3 = -π/4

N1 ([-π/4]/0)

N2 ([3π/4]/0)

N3 ([7π/4]/0)

3) ∃ a

4) y´ = cos x - sin x

0 = cos x - sin x

sin x = cos x /:cos x

tan x = 1

x1 = π/4

x2 = 5π/4

y´´ = - sin x - cos x

y´´(π/4) = -√[2] < 0 ⇒ H ([π/4]/ √[2])

y´´(5π/4) = √[2] > 0 ⇒ T ([5π/4]/-√[2])

5) 0 = - sin x - cos x

sin x = - cos x /:cos x

tan x = -1

x1 = 3π/4

x2 = 7π/4

x3 = -π/4

W1 ([-π/4]/0)

W2 ([3π/4]/0)

W3 ([7π/4]/0)

y´(-π/4) = √[2] d = 0 - √[2] * (-π/4) = 1.11

y´(3π/4) = -√[2] d = 0 - (-√[2]) * (3π/4) = 3.33

y´(7π/4) = √[2] d = 0 - √[2] * (7π/4) = -7.78

w1: y = √[2] x + 1.11

w2: y = -√[2] x + 3.33

w3: y = √[2] x - 7.78

6)

7)

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Aus 3 gleich breiten Brettern (Breite = a) soll eine Rinne von möglichst großem trapezförmigem Querschnitt gebildet werden. In welchem Neigungswinkel müssen die Seitenwände zur Horizontalen geneigt sein ?

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HB: A = [(a+c)*h]/2 1. NB: cos α = h/a

a= [(a+a+2a sin α)*a cos α]/2 = h = a cos α

= [(2a + 2a sin α) a cos α]/2 = 2. NB: sin α = [[c-a]/2]/a

= [2a (1 + sin α) a cos α]/2 = [c-a]/2 = a sin α

= a² cos α (1 + sin α) c-a = 2a sin α

Dα = [0°;90°] c = a + 2a sin α

f(α) = (1 + sin α) cos α

f´(α) = cos α * cos α + (1 + sin α) (-sin α) =

= cos² α - sin α (1 + sin α) =

= cos² α - sin α - sin² α

cos² α - sin α - sin² α = 0

1 - sin² α - sin α - sin² α = 0

-2 sin² α - sin α + 1 = 0 /:(-2)

sin² α + ½ sin α - ½ = 0

(sin α)1,2 = -1/4 ± √[1/16 + 1/2] = -1/4 ± √[9/16] = -1/4 ± ¾

(sin α)1 = ½ ⇒ α1 = 30°

(sin α)2 = -1 ⇒ α2 = 270° ⊆ D

f´´(α) = 2 cos α (-sin α) - cos α - 2 sin α cos α = -2 sin α cos α - cos α - 2 sin α cos α =

= -4 sin α cos α - cos α

f´´(30°) = -4 sin 30° cos 30° - cos 30° = -2.60 < 0 ⇒ Max.

β = 90° + α = 120°

h = a cos α = [a√[3]]/2

c = a + 2a sin α = a + 2a/2 = 2a

A = [(a+c)*h]/2 = [(a + 2a) [a√[3]]/2]/2 = [3a²√[3]]/4

A: Die Wände müssen mit 120° geneigt sein, daß die Querschnittsfläche maximal [3a²√[3]]/4 ist.

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z. B.: geg.: y = f(x) ................. Polynom n-ten Grades

ges.: Nullstelle X

P (x0/y0) ......... Startwert = x0

t0: y = kx + d k = f´(x0)

y = f´(x0) * x + d

P (x0/y0): y0 = f´(x0) * x0 + d

d = y0 - f´(x0) * x0

⇒ t0: y = f´(x0) * x + (y0 - f´(x0) * x0)

t0 ∩ x-Achse: y = 0

0 = f´(x0) * x1 + (y0 - f´(x0) * x0)

x1 = ^{[-y0 + f´(x0) * x0]} /_[f´(x0)]

x1 = x0 - ^[y0] /_[f´(x0)] = x0 - ^[f(x0)] /_[f´(x0)]

x2 = x1 - ^[f(x1)] /_[f´(x1)]

x³ + 3x - 1 = 0 G = R

f: y = x³ + 3x - 1

f´: y = 3x² + 3

wähle x0 = 0.3

x1 = x0 - ^[f(x0)] /_[f´(x0)] = 0.3 - ^[-0.073] /_[3.27] = 0.322324159021

x1 = 0.32

x2 = x1 - ^[f(x1)] /_[f´(x1)] = 0.32 - ^[-0.007232] /_[3.3072] = 0.322186744074

x2 = 0.322

f: 3 Nullen hinter dem Komma → aufhören

N (0.322/0)

geg.: y = x sin x

ges.: 1 W in [0;2π]

y´ = sin x + x cos x

y´´ = cos x + cos x + x (-sin x) = 2 cos x - x sin x

y´´´ = -2 sin x - (sin x + x cos x) = -2 sin x - sin x - x cos x = -3 sin x - x cos x

2 cos x - x sin x = 0

f: y = 2 cos x - x sin x

f´: y = -3 sin x - x cos x

W1 (1.0768738869/0.94816599969)

W2 (3.6435970418/-1.753239107)

geg.: y = tan 2x - 1/[2x]

ges.: 1 N in ]0;π/4[

y´ = 2/[cos² 2x] - [-2]/[4x²] = 2/[cos² 2x] + 1/[2x²]

N (0.43016679451/0)

y = [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - a²]

Asymptoten: x = 3 , x = -3

H (-4.55/-7.39)

T (-1.58/-0.25)

∃ W

x² - a² = 0

x² = a²

a² = 9

y = [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9]

1) D = R \ {± 3}

2) [x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] = 0 /*N

x³ - 2x² - 13x - 10 = 0

T = {±1; ±2; ±5; ±10}

x1 = -1

x² - 3x - 10 = 0

x2,3 = 3/2 ± √[9/4 +10] = 3/2 ± √[49/4] = 3/2 ± 7/2

x2 = -2

x3 = 5

N1 (-2/0)

N2 (-1/0)

N3 (5/0)

[x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9] = x /*N

x³ - 2x² - 13x - 10 = x³ - 9x

-2x² - 4x - 10 = 0 /:(-2)

x² + 2x + 5 = 0

x1,2 = -1 ± √[1-5] = -1 ± √[-4] = -1 ± 2i

⇒ ∃ F

3) a1: x = -3

a2: x = 3

lim [x→±∞] ([x³ - 2x² - 13x - 10] /[x² - 9]) = lim [x→±∞] (x - 2 + [-4x - 28] /[x² - 9]) =

= lim [x→±∞] (x - 2 + [[-4x]/[x²] - [28]/[x²]] /[[x²]/[x²] - [9]/[x²]]) =

= lim [x→±∞] (x - 2 + [-4/x - 28/x²] /[1 - 9/x²]) = lim [x→±∞] (x - 2 + 0/1) =

= lim [x→±∞] (x - 2)

a3: y = x - 2

4)

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geg.: y = cos² x - cos x

ges.: N, W in [-π;π]

cos² x - cos x = 0

cos x (cos x - 1) = 0

cos x = 0 cos x - 1 = 0

x1 = -π/2 cos x = 1

x2 = π/2 x3 = 0

N1 ([-π/2]/0)

N2 (0/0)

N3 ([π/2]/0)

y´ = 2 cos x (-sin x) - (-sin x) = -2 sin x cos x + sin x

y´´ = -2 [cos x * cos x + sin x (-sin x)] + cos x = -2 (cos² x - sin² x) + cos x =

= -2 cos² x + 2 sin² x + cos x = -2 cos² x + 2 (1 - cos² x) + cos x = -2 cos² x + 2 - 2 cos² x + cos x =

= -4 cos² x + cos x + 2

-4 cos² x + cos x + 2 = 0 /:(-4)

cos² x - ¼ cos x - ½ = 0

(cos x)1,2 = 1/8 ± √[1/64 + 1/2] = 1/8 ± √[1/64 + 32/64] = 1/8 ± √[33/64] = 1/8 ± √[33]/8

(cos x)1 = 1/8 + √[33]/8

(cos x)2 = 1/8 - √[33]/8

x1 = 0.5678 W1 (0.5678/-0.1323)

x2 = 2.2056 W2 (2.2056/0.9448)

x3 = -0.5678 W3 (-0.5678/-0.1323)

x4 = -2.2056 W4 (-2.2056/0.9448)

Unter welchem Winkel muß die Seitenkante einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide erscheinen, damit das Volumen maximal wird (2 Arten) ?

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Dα = [0; 90°]

1) HB: V = [G h] /3 = [a² h] /3 ... Max. 1. NB: sin α = [ [a √[2]]/2 ] /s

V = [2s² sin² α s cos α] /3 = a = [2s sin α] /√[2] =

= [2s³ sin² α cos α] /3 = s √[2] sin α

f(α) = sin² α cos α 2. NB: cos α = h/s

f´(α) = 2 sin α cos α cos α + sin² α (- sin α) = h = s cos α

= 2 sin α cos² α - sin³ α

0 = 2 sin α cos² α - sin³ α

0 = 2 sin α (1 - sin² α) - sin³ α

0 = 2 sin α - 2 sin³ α - sin³ α

0 = 2 sin α - 3 sin³ α

0 = sin α (2 - 3 sin² α)

sin α = 0 sin² α = 2/3

α1 = 0° sin α = ± √[2/3]

α2 = 180° ⊆ D α3 = 54.74°

α4 = 125.26° ⊆ D

α5 = 305.26° ⊆ D

α6 = 234.74° ⊆ D

V = [2s³] /3 sin² α cos α = [2s³] /3 sin² 54.74° cos 54.74° = 0.26 s³

f´´(α) = 2 [cos α cos² α + sin α 2 cos α (- sin α)] - 3 sin² α cos α =

= 2 (cos³ α - 2 sin² α cos α) - 3 sin² α cos α =

= 2 cos³ α - 4 sin² α cos α - 3 sin² α cos α =

= 2 cos³ α - 7 sin² α cos α

f´´(54.74°) = - 2.31 < 0 ⇒ Max.

2) HB: V = [G h] /3 = [a² h] /3 = ... Max. NB: s² = h² + ( [a √[2]] /2 )²

= [2 (s² - h²) h] /3 = 2/3 (s² - h²) h s² = h² + a²/2

f(h) = hs² - h³ a² = 2s² - 2h² = 2 (s² - h²)

f´(h) = s² - 3h²

s² - 3h² = 0 a² = 2 (s² - s²/3) = 2 ( [2s²] /3 ) = [4s²] /3

s² = 3h² a = ± [2s] /√[3] = ± [2 √[3] s] /3

h = ± s/√[3] = ± [s √[3]] /3 cos α = h/s = [s/√[3]] /s = 1/√[3]

α = arccos 1/√[3] = 54.74°

A: Die Seitenkante muß unter 54.74° zur Höhe geneigt sein, damit das Volumen maximal 0.26 s³ beträgt.

a) geg.: 2 gleich mächtige Mengen D, W

D = {x1; x2; x3}

W = {y1; y2; y3}

ges.: alle umkehrbaren elementweisen Abbildungen von D auf W

Anzahl der möglichen Abbildungen = 6

für x1 → 3 Möglichkeiten

x2 → 2 Mögl. } insgesamt 3 * 2 * 1 = 3 ! Mögl.

x3 → 1 Mögl.

b) D = {x1; x2; ...; xn}

W = {y1; y2; ...; yn}

x1 ... n Mögl.

x2 ... n-1 Mögl.

x[n-1] ... 2 Mögl.

xn ... 1 Mögl.

Anzahl = n * (n-1) * ... * 2 * 1 = n !

D = {x1; x2}

W = {x1; x2}

Permutation vom Grade 2

Eine Permutation Pn vom Grade n ist eine elementweise Abbildung einer Menge von n Elementen auf sich selbst.

Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung beträgt n!

Wie viele dreiziffrige Zahlen mit den Ziffern 1 und 2, mit 2 Einsern, gibt es (1 und 2 müssen vorhanden sein) ?

112

121 ⇒ 3 Mögl.

211

mögliche Anzahl = [P3] /[2!] = [3!] /[2!] = 3

P₃²

Ein Kind besitzt 9 Glaskugeln. Wie viele Reihungsmöglichkeiten gibt es,

a) wenn alle verschieden gefärbt sind ?

b) wenn 4 rot sind und die restlichen verschieden gefärbt ?

c) wenn 4 grün, 3 rot und 2 blau sind ?

a) P9 = 9! = 362 880

b) P₉⁴ = [9!] /[4!] = 15 120

c) P₉^4,3,2 = [9!] /[4! 3! 2!] = 1 260

(ⁿ _k) = [n!] /[k! * (n-k)!]

→ „n über k“ ... Binomialkoeffizient

(⁶ ₃) = [6!] /[3! (6-3)!] = [6!] /[3! * 3!] = [6*5*4*3!] /[3!*3!] = [6*5*4] /[3*2] = 5 * 4 = 20

M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

T1 = {1; 2; 3}

T2 = ... } ⇒ 20 Teilmengen zu je 3 Elementen

Vereinfachen:

(ⁿ _n-2) = [n!] /[(n-2)! [n - (n-2)]! ] = [n!] /[(n-2)! 2!] = [n (n-1) (n-2)!] /[(n-2)! 2!] = [n (n-1)] /[2!] =

= [n (n-1)] /2

geg.: 5 blaue, 7 schwarze Kugeln

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln auszuwählen, die mindestens 1 schwarze enthalten ?

Σ Mögl. = (1s; 2b) + (2s; 1b) + (3s; 0b) =

= (7 1) * (5 2) + (7 2) * (5 1) + (7 3) * (5 0) = (n 0) = 1

= [7!] /[1! 6!] * [5!] /[2! 3!] + [7!] /[2! 5!] * [5!] /[1! 4!] + [7!] /[3! 4!] * [5!] /[0! 5!] =

= [7*6!] /[1!*6!] * [5*4*3!] /[2!*3!] + [7*6*5!] /2!*5!] * [5*4!] /[1!*4!] + [7*6*5*4!] /[3!*4!] * 1 =

7 * 10 + 21 * 5 + 35 = 70 + 105 + 35 = 210

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 12 Bilder unter 3 Personen so aufzuteilen, daß jede Person 4 Bilder erhält ?

A: (12 4)

B: (8 4)

C: (4 4) = 1

Σ = (12 4) (8 4) (4 4) = [12*11*10*9] /[4!] * [8*7*6*5] /[4!] = 34 650

(n-1 k-1) - (n-2 k-2) = (n-2 k-1)

(n-1 k-1) - (n-2 k-2) = [(n-1)!] /[(k-1)! [(n-1) - (k-1)]! ] - [(n-2)!] /[(k-2)! [(n-2) - (k-2)]! ] =

= [(n-1)!] /[(k-1)! (n-k)!] - [(n-2)!] /[(k-2)! (n-k)!] =

= [(n-1)! - (n-2)! (k-1)] /[(n-k)! (k-1)!] = [(n-2)! [(n-1) - (k-1)] ] /[(n-k)! (k-1)!] =

= [(n-2)! (n-k)] /[(n-k)! (k-1)!] = [(n-2)!] /[(k-1)! (n-k-1)!]

(n-2 k-1) = [(n-2)!] /[(k-1)! [(n-2) - (k-1)]! ] = [(n-2)!] /[(k-1)! (n-k-1)!] q. e. d.

Berechne die Anzahl der Kreise durch 20 Punkte, wenn nie 3 Punkte auf 1 Geraden, aber einmal 5 Punkte auf dem selben Kreis liegen.

Σ = (20 3) - (5 3) + 1 = 1130 + 1 = 1131

Aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln (durchnummeriert) werden k Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt. Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es ?

1. Kugel: n Mögl.

2. K.: n-1 Mögl.

3. K.: n-2 Mögl.

... ...

k. K.: n-k+1 Mögl.

Σ = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1) = [n!] /[(n-k)!] = (n k) * k! = V(n;k)

... Variation ohne Wiederholung

Die Kugeln werden wieder zurückgelegt: ... Variation mit Wiederholung

1. Kugel: n Mögl.

2. K.: n Mögl.

3. K.: n Mögl.

... ...

k. K.: n Mögl. } k Faktoren

Σ = n ^k = ^wV(n;k)

1) A - B 1, 2, X → 3 Mögl.

2) C - D 1, 2, X → 3 Mögl.

3) ...

...

12) ...

⇒ 3 ¹² = 531 441 Mögl. ^ 4 251 528 S

1. Zahl: 45 Mögl.

2. Z.: 44 Mögl.

... ...

6. Z.: 40 Mögl.

Σ = [45*44*43*42*41*40] /[6!] = 8 145 060 Mögl. ^ 65 160 480 S

= (45 6)

a) Wie viele vierziffrige Zahlen mit verschiedenen Ziffern gibt es ?

9 9 8 7 ... Mögl.

9 * 9 * 8 * 7 = 4536 Mögl.

b) ..., bei denen die Ziffer 3 nicht vorkommt ?

8 * 8 * 7 * 6 = 2688 Mögl.

c) ..., bei denen die Ziffer 3 vorkommt (2 Arten) ?

(1) a) - b) = 4536 - 2688 = 1848 Mögl.

(2)

3 9 8 7

9 * 8 * 7 = 504

8 3 8 7

8 * 8 * 7 = 448

8 8 3 7

8 8 7 3

3 * (8 * 8 * 7) + 9 * 8 * 7 = 1848

Σ = 9 * 8 * 7 + 8 * 8 * 7 * 3 = 8 * 7 * (9 + 24) = 56 * 33 = 1848

d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 20 Karten auf 4 Personen zu verteilen, so daß jeder 5 erhält ?

1. Pers.: (20 5)

2. Pers.: (15 5)

3. Pers.: (10 5)

4. Pers.: (5 5) = 1

Σ = (20 5) * (15 5) * (10 5) = 11 732 745 024

e) Ein Kandidat muß aus 12 Fragen 4 auswählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn von den 4 gewählten Fragen 2 aus den ersten 6 stammen müssen ?

Σ = (6 2) * (6 2) + (6 3) * (6 1) + (6 4) * (6 0) = 360

(n k) + (n k+1) = (n+1 k+1)

(n k) + (n k+1) = [n!] /[k! (n-k)!] + [n!] /[(k+1)! [n - (k+1)]! ] =

= [n!] /[k! (n-k)!] + [n!] /[(k+1)! (n-k-1)!] =

= [n! (k+1) + n! (n-k)] /[(k+1)! (n-k)!] = [n! (n+1)] /[(k+1)! (n-k)!] =

= [(n+1)!] /[(k+1)! (n-k)!]

(n+1 k+1) = [(n+1)!] /[(k+1)! [n+1 - (k+1)]! ] = [(n+1)!] /[(k+1)! (n-k)!] q. e. d.

g) Wie viele (sinnlose) Wörter kann man aus den Buchstaben des Wortes LOTTO bilden ?

P₅^2,2 = [5!] /[2! 2!] = 30

0. Zeile: 1 (0 0)

1. Zeile: 1 1 (1 0) (1 1)

1 2 1 (2 0) (2 1) (2 2)

1 3 3 1 (3 0) (3 1) (3 2) (3 3)

1 4 6 4 1 (4 0) (4 1) (4 2) (4 3) (4 4)

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

2. Zeile: (a+b)² = a² + 2ab + b² (3 1) + (3 2) = (4 2)

5. Zeile: (a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ (n k) + (n k+1) = (n+1 k+1)

siehe Bsp. 33f)

1) außen lauter Einser

2) zweite Reihe: natürliche Zahlen

3) dritte Reihe: „Dreieckszahlen“: 1, 3, 6, 10, ...

4) vierte Reihe: „Tetraederzahlen“: 1, 4, 10, 20, ...

5) die Summe von zwei nebeneinanderstehenden Zahlen ergibt die darunterstehende Zahl

6) die Summe jeder Zeile ergibt die entsprechende Zweierpotenz

7) die Summe einer Reihe von Zahlen (bei 1 beginnend) ergibt die rechtwinklig schräg darunterstehende Zahl

8) bei Primzahlen sind in der jeweiligen Reihe alle Zahlen durch die (Prim-)Zahl teilbar

a = 1

b = 1

... Beweis für 6)

a ^b = c ... potenzieren

a = ^b√[c] ... wurzelziehen, radizieren

b = ^a log c ... logarithmieren

Spezialfall:

a = 10 y = ¹⁰ log = lg

a = e y = ^e log = ln

y = ² log x y = ^½ log x

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1) alle durch (1/0)

2) D = R⁺, W = R

3) N (1/0)

4) y-Achse ist Asymptote

5) a) a < 1 ⇒ s. m. f.

b) a > 1 ⇒ s. m. st.

6) a) a < 1 ⇒ ∃ F

b) a > 1 ⇒ ∃ F

1) ^a log (u*v) = ^a log u + ^a log v

2) ^a log (u/v) = ^a log u - ^a log v

3) ^a log (u^k) = k * ^a log u

y = ^a log x

y´ = ?

[Δy] /[Δx] = [f(x+Δx) - f(x)] /[Δx] = [^a log (x+Δx) - ^a log (x)] /[Δx] = [^a log ([x+Δx]/[x])] /[Δx] =

= 1/[Δx] ^a log (1 + [Δx]/x) = ^a log (1 + [Δx]/x)^[1/[Δx]] = x/x ^a log (1 + [Δx]/x)^[1/[Δx]] =

= 1/x ^a log (1 + [Δx]/x)^[x/[Δx]]

x/[Δx] = n Δx → 0 ⇔ n → ∞

[Δx]/x = 1/n

y´ = lim_[Δx→0] [Δy]/[Δx] = lim_{[Δx→0; n→∞]} 1/x ^a log (1 + [1/n])ⁿ = 1/x lim_[n→∞] [^a log (1 + [1/n])ⁿ] =

= 1/x ^a log e

^b log a * ^a log b = 1

^a log e = 1/[^e log a] = 1/[ln a]

1) a = e

y = ^e log x = ln x

y´ = 1/x ln e = 1/x

2) a = 10

y = ¹⁰ log x = lg x

y´ = 1/x lg e

y = a ^x a > 0; a ≠ 1

y = 2 ^x y = ½ ^x

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1) alle durch (0/1)

2) D = R, W = R⁺

3) ∃ N